В 1948–1953 учился в Московском полиграфическом институте у А.Д. Гончарова, Г.Т. Торощенко.
Диплом Союза художников СССР (1965), Диплом первой степени Всероссийского конкурса «Искусство книги – 1967».
Участник московских, всесоюзных выставок с 1953 года. Выставки: Берлин (1960, 1973), Лейпциг (1965), Белград (1967), Варшава (1967).
Первая персональная выставка состоялась в Москве в 1967 году.
Произведения художника хранятся в российских и зарубежных собраниях.
Награды
- Диплом первой степени на Всеросийском конкурсе «Искусство книги – 1967» за книгу
С. Маршака "Почта" (1967 г.),
- Диплом второй степени на Всероссийском конкурсе «Лучшая книга – 1965» за книгу
В. Маяковского «Что ни страница - то слон, то львица» (1965 г.),
- Диплом второй степени на Всесоюзном конкурсе «Художественное оформление и полиграфическое оформление – 1971 г.» за книгу Э. Распе «Приключения барона Мюнхгаузена» (1971 г.)
В настоящее время А. М. Елисеев живет и работает в Москве.
Иллюстрации к сборнику рассказов "Маленькие хитрости" М. Зощенко Анатолий Михайлович написал весной 2011 года.
